4. Construir un triángulo concociendo
dos lados y el ángulo comprendido.
Sean b y c los dos lados dados y A el ángulo que
comprenden (fig. 72). Se construye un ángulo igual al
dado, según aprendimos, y se llevan sobre sus lados lo
segmentos AC = b y AB = c. Se unen los puntos B y C así
obtenidos y se tiene el triángulo ABC pedido.
5. Construir un triángulo
rectángulo conocidos la hipotenusa y un
cateto.
Se construye un ángulo recta A (fig. 73), y sobre
uno de sus lados se lleva el cateto conocido AC = b. Con centro
en C y una abertura de compás igual a la longitud de la
hipotenusa a se traza el arco B. Uniendo C con B se tiene el
triángulo rectángulo pedido.
6. Construir un triángulo
rectángulo conocidos un cateto y un ángulo
agudo.
Supongamos que el segmento c representa el cateto dado y
que B representa el ángulo agudo también conocido
(fig. 74). Se construye un ángulo B igual al dado y sobre
uno de sus lados se lleva el cateto conocido BA = c. Se levanta
una perpendicular AC en el punto A a la recta BA y se tiene el
triángulo pedido ABC.
Capítulo 3
Construcciones de
cuadriláteros
Las figuras 75, 76, 77 y 78 representan
cuadriláteros. Se ve que en todos ellos hay cuatro
segmentos que se encuentran dos a dos y que limitan una
porción del plano.
En la figura 75 estos cuatro segmentos son AB, BC, CD y
DA. Estos segmentos se llaman lados del cuadrilátero. Los
puntos A, B, C, D, comunes a dos segmentos, son los
vértices del cuadrilátero, y los ángulos 1,
2, 3, 4 son sus ángulos. Un cuadrilátero tiene
cuatro ángulos, es decir, tantos como lados. Los
vértices A y D, así como los C y B, son contiguos o
consecutivos; los A y C y los D y B no lo son. Se llama diagonal
de un cuadrilátero al segmento que determinan dos
vértices no consecutivos. Así, AC y BD son las
diagonales del cuadrilátero de la figura. Un
cuadrilátero sólo tiene dos diagonales. ¿Hay
diagonales en un triángulo? Explique su
respuesta.
Hay cuadriláteros como el de la figura 76 que
presentan un ángulo como el C, que se llama ángulo
entrante; los otros ángulos se llaman salientes. Los
cuadriláteros que tienen algún ángulo
entrante se llaman cóncavos; los que no lo presentan se
llaman convexos. Estos son los que nos interesan
ahora.
Clasificación de los cuadriláteros. La
clasificación de los cuadriláteros convexos se
considera como un modelo de clasificación.
Los cuadriláteros se dividen en paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
Se llama paralelogramo al cuadrilátero que tiene
sus lados paralelos dos a dos. (fig. 77).
Se llama trapecio al cuadrilátero que solo tiene
dos de sus lados paralelos sin serlo los otros dos (fig. 78). En
todo trapecio los lados paralelos se llaman bases.
Se llama trapezoide al cuadrilátero en que no hay
lados paralelos (fig. 79)
Los paralelogramos se dividen en rectángulos,
cuadrados, rombos y romboides+el rectángulo (fig. 80) –
llamado raras veces cuadrilongo – es el paralelogramo que tiene
todos sus ángulos rectos y sus lados iguales dos a
dos.
El cuadrado (fig. 81) es el paralelogramo que tiene sus
cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales. El rombo
(fig. 82) es el cuadrilátero que tiene sus cuatro lados
iguales y sus ángulos no son rectos. El romboide (fig. 83)
es el paralelogramo que tiene sus lados iguales dos a dos y sus
ángulos no son rectos.
El trapecio puede ser rectángulo,
isósceles y escaleno
Trapecio rectángulo es el que tiene uno de sus
lados no paralelos perpendicular a los lados paralelos (fig. 84).
Trapecio isósceles es el que tiene iguales sus dos lados
no paralelos (fig. 85). Trapecio escaleno es el que tiene
desiguales sus lados no paralelos (fig. 86).
Fig. 87
Área de un paralelogramo. Para hallar el
área o superficie de un paralelogramo es necesario definir
su base y su altura. Si se traza la perpendicular EF a uno de los
lados de un paralelogramo, esta recta es también
perpendicular al otro lado paralelo (fig. 87). El segmento EF de
la perpendicular se llama entonces atura del paralelogramo, en
tanto que el lado AD se llama Base. Igual puede llamarse base al
lado BC. Para hallar el área de un paralelogramo basta
multiplicar su base por su altura.
Ejemplo 1: Hallar el área de un paralelogramo
cuya base es de 20 m. y cuya altura es de 12 m
El área es A = 20 . 12 = 240 m2, esto es, vale
240 metros cuadrados
Ejemplo 2: Hallar el área de un paralelogramo
cuya base es de 60 cm y cuya altura es de 7,2 cm
A = 60. 7,2 = 432 cm2
Ejercicios resueltos:
1. Construir un cuadrado cuando se conoce el
lado.
Se construye un ángulo recta A, (fig. 88),
levantando una perpendicular en un punto A de una recta, tal como
ya sabemos. Se llevan sobre los lados del ángulo recto
así obtenido longitudes AB y AC iguales al lado a. Con
centro en B y una abertura de compás igual al lado dado se
traza el arco 1. Con centro en C y la misma abertura se traza el
arco 2. Se tiene así el punto D, que unido con B y C, nos
da el cuadrado ABCD pedido.
2. Construir un cuadrado cuando se conoce la
diagonal.
Sea HK la diagonal (fig. 89). En un punto O de una recta
indefinida r se levanta una perpendicular p. Se divide la
diagonal HK en dos partes iguales y con una abertura de
compás igual a su mitad se hace centro en O y se marcan
los puntos A, B, C, D. Uniendo estos puntos de dos en dos se
tiene el cuadrado pedido ABCD.
3. Construir un rectángulo (cuadrilongo)
dados los dos lados distintos.
Sean a y b los dos lados dados (fig. 90). Sobre una
recta cualquiera r se lleva uno de estos lados, el a por ejemplo,
en AB, y en uno de sus extremos A se levanta una perpendicular
AC. Sobre esta perpendicular se lleva, a partir de A, el otro
lado b, dado; con centro en B, y una abertura igual a b, se traza
un arco; con centro en C, y una abertura igual al lado a, se
traza otro arco. Estos arcos se cortan en el punto P que unido
con B y C nos da el cuadrilátero ABCP pedido.
4. Construir un rombo conociendo las
diagonales.
Sean a y b las dos diagonales dadas (fig. 91). En un
punto O de una indefinida r se traza una perpendicular p a esta
recta, como ya sabemos. Se dividen las diagonales a y b en dos
partes iguales. Con una abertura de compás igual a la
mitad de a se hace centro en O y se marcan los puntos A y B. Con
una abertura de compás igual a la mitad de b se hace
centro en O y se marcan los puntos C y D. Uniendo os cuatro
puntos así obtenidos resulta el rombo ACBD.
5. Construir un romboide conociendo los dos
lados y el ángulo que forman.
Sean a y b los dos lados y A el ángulo que forman
(fig 92). Se construye en A un ángulo igual al dado por el
método que sabemos. Sobre uno de los lados de este
ángulo se lleva un segmento AB igual al lado a, y sobre el
otro, un segmento AC igual al lado b. Con centro en B y una
abertura de compás igual a b se traza el arco 1 y con
centro en C y una abertura de compás igual al segmento a
de traza el arco 2. Estos dos arcos determinan el punto D, que
unido con B y C, nos da el romboide pedido ABDC.
6. Construir un trapecio rectángulo
conociendo las dos bases y la altura.
Sean a y b las dos bases y h la altura (fig. 93). Sobre
una recta indefinida r se lleva un segmento AB, igual a la base
dada b. En un extremo A de este segmento se levante una
perpendicular AC; y sobre ella, y a partir de A, se lleva el
segmento CD, igual a la otra base b. Se determina así el
punto D, que unido con B, nos da el trapecio pedido
ABDC.
Capítulo 4
Construcciones de
polígonos
Las figuras 94, 95, 96 y 97 representan
polígonos. Se ve que estos polígonos están
limitados por una línea quebrada o poligonal cerrada. Los
segmentos que forman la poligonal son los lados del
polígono. En la fig. 96, AB, BC, CD, DE y EA son los lados
del polígono. Los puntos A, B, C, D y E son sus
vértices. A cada vértice del polígono
corresponde un ángulo del mismo. Cuando un polígono
no presenta ángulos entrantes, como los tres primeros de
los anteriores, se llama convexo; cuando presenta ángulos
entrantes, como el D en la figura 97, se llama cóncavo.
Los ángulos de un polígono que están
formados por dos lados consecutivos se llaman interiores, tales
como los citados antes. Los que están formados por un lado
y la prolongación de otro, se llaman externos. Así,
en la fig. 114, el ángulo 1 es exterior. Los
triángulos y los cuadriláteros estudiados antes son
polígonos.
Propiedad 1: La suma de los ángulos exteriores de
un polígono cualquiera vale 360º.
Propiedad 2: La suma de los ángulos interiores de
un polígono cualquiera vale tantas veces 180º como
lados tiene menos dos.
Así, para calcular el valor de la suma de los
ángulos del polígono de la figura 96, decimos: su
número de lados es 5; restándole 2 a este
número nos queda el número 3, y a la suma de los
ángulos interiores del polígono es 180º. 3 =
540º.
Diagonal de un polígono es el segmento que une un
vértice con otro no inmediato o consecutivo. Así,
en la figura 99, AB, AC y AD son diagonales.
Propiedad: Desde un vértice en un polígono
se le pueden trazar a éste tantas diagonales como lados
tiene menos tres. En caso de la figura 99 el número de
lados es 8. El número de diagonales que se le pueden
trazar desde A, por ejemplo, es 8 – 3 = 5.
Las figuras 100 y 101 representan poligonales cerradas
en que hay dos o más lados que se cortan. Estas figuras se
llaman líneas o poligonales estrelladas; muchos los
denominan polígonos estrellados.
Según el número de lados, un
polígono se llama triángulo, cuando tiene tres
lados; cuadrilátero, cuando tiene cuatro lados;
pentágono, cuando tiene cinco; hexágono, cuando
tiene seis; heptágono, cuando tiene siete; octógono
u octágono, cuando tiene ocho; eneágono, cuando
tiene nueve; decágono, cuando tiene diez. Aunque se usan
poco estos nombres, el polígono de once lados se llama
endecágono, el de doce dodecágono, el de quince
pentadecágono, y el de veinte icoságono. Los otros
no tienen nombre particular.
Se dice que un polígono está inscrito en
una circunferencia, y se llama polígono inscrito, cuando
tiene todos sus vértices en esta circunferencia. Tal
ocurre en el caso de la figura 102. Se dice que un
polígono está circunscrito a una circunferencia,
cuando todos sus lados son tangentes a esta circunferencia, y se
llama entonces polígono circunscrito. Así ocurre en
la figura 103.
Un polígono se llama regular, cuando tiene todos
sus lados iguales y todos sus ángulos también
iguales. Son polígonos regulares el triángulo
equilátero y el cuadrado; también lo es el
pentágono de la figura 104. Se llama irregular el
polígono que no cumple las condiciones anteriores. Los
polígonos de las figuras 98, 102 y 103, por ejemplo, son
irregulares. Si un polígono tiene todos sus lados iguales,
se llama equilátero; si sus ángulos,
equiángulo.
Ejercicios resueltos:
1. Inscribir un hexágono regular y un
triángulo equilátero en una
circunferencia.
Con una abertura de compás igual al radio OA, se
marcan en la circunferencia, a partir de un punto cualquiera A de
la misma, los puntos B, C, D, E y F, (fig. 105), y se comprueba
que esta operación se puede realizar seis veces
exactamente. Uniendo los puntos de dos en dos sucesivamente se
obtiene el hexágono regular.
Si se unen los puntos de dos en dos saltando un en cada
caso, se obtiene el triángulo equilátero ACE de la
figura.
2. Inscribir un cuadrado y un Octógono
en la circunferencia.
Se trazan dos diámetros perpendiculares (fig.
105, a) y se unen de dos en dos los puntos A, D, B y C, en que
estas perpendiculares cortan a la circunferencia.
Para llegar al octógono se trazan las bisectrices
OM, ON, de los ángulos rectos BOD y AOD. Se prolongan
estas bisectrices y se unen de dos en dos los ocho puntos que se
obtienen en la circunferencia.
3. Inscribir un heptágono regular en una
circunferencia.
Se traza un diámetro AB (fig 106), y con centro
en uno de sus extremos A, y una abertura igual al radio AO, de la
circunferencia, se traza el arco MON. Uniendo los puntos M y N se
obtiene el segmento MC que da el lado del heptágono
regular.
4. Inscribir un pentágono regular en la
circunferencia.
Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD
(fig. 107). Se determina el punto medio M del radio OB levantando
la perpendicular en este punto, y haciendo centro en M, y con una
abertura de compás igual a MD, se traza el arco DE, cuya
cuerda DE es el lado del pentágono. Así que,
llevando DE sucesivamente sobre la circunferencia, se obtienen
cinco puntos, que unidos dan un pentágono
regular.
5. Dividir un segmento en partes
iguales.
Se quiere dividir un segmento AB (fig.108) en partes
iguales; en siete, por ejemplo. Para ello, se traza una
semirrecta cualquiera A7, a partir de uno de sus extremos, y
sobre esta semirrecta se lleva, a partir de A, un número
de segmentos iguales, igual al número de partes en que se
quiere dividir el segmento dado. En la figura se han llevado los
segmentos A1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, esto es, siete
segmentos todos iguales. Se une ahora el punto 7 con el extremo B
del segmento dado, y por los puntos de división
1-2-3-4-5-6 se trazan paralelas a 7B. Estas paralelas determinan
los puntos de división pedidos en AB.
6. División de la circunferencia en
cualquier número de partes iguales.
Se da la circunferencia de centro O (fig. 109). Se traza
un diámetro AB y se divide este diámetro en tanteas
partes como en partes se quiera dividir la circunferencia. Se
hace centro en los extremos A y B del diámetro, y con
aberturas iguales a este diámetro, se trazan los arcos B1
y A2, que se cortan en C. Se traza CD, que une el punto C con el
segundo punto de división del diámetro, y la cuerda
del arco AD cabe aproximadamente en la circunferencia el
número de veces deseado. En el caso de la figura se ha
dividido la circunferencia en siete partes iguales.
7. Dado el lado de un polígono regular,
construir este polígono.
Sea AB (fig. 110) el lado dado que, para fijar las
ideas, supondremos que es el de un pentágono regular.
Tracemos una circunferencia cualquiera, que es la de radio OC en
la figura, e inscribamos en la misma, por uno de los
métodos conocidos, un polígono de igual
número de lados que el que se busca – pentágono en
este caso. Sea CD su lado. Unamos CE = AB, y tracemos EF paralela
a CO y FG paralela a CE. Si se traza ahora una circunferencia de
centro O y radio OG, el segmento GF es el lado del
pentágono inscrito en ella, y este lado es igual al lado
AB.
8. Trisección del
ángulo
Es la operación por la cual se divide un
ángulo cualquiera entre partes iguales. Para esta
operación solo existen métodos aproximados
empleando la regla y el compás.
Sea ABC el ángulo dado (fig. 111). Con centro en
el vértice B tracemos una semicircunferencia ACF de radio
cualquiera. Tracemos la bisectriz BE del ángulo dado, y
tomemos DE = DB. Uniendo E con F se obtiene el punto H que
determina el arco CH que cabe tres veces aproximadamente en el
arco CA.
Otro método: Con centro en el vértice B, y
radio cualquiera BA, (fig. 112), se traza una semicircunferencia
ACE. Sobre el borde de una hoja de papel, o sobre el canto de una
regla, se marca una longitud igual al radio de esta
circunferencia y se traslada de modo que uno de los extremos de
este segmento coincida con E, mientras que el otro cae en D,
pasando su prolongación por C. Marcando este punto E, y
uniéndolo con C, se tiene la recta DEC cuyo segmento DE es
igual al radio de la semicircunferencia y que forma con DA el
ángulo CDA igual a la tercera parte del ángulo
dado. El procedimiento es riguroso, pero no es un método
de regla y compás.
Cuando el ángulo dado es obtuso se divide en dos
ángulos agudos y se obtiene la tercera parte de cada uno
de ellos.
9. Rectificación de la
circunferencia.
Rectificar una curva es una operación que se
propone hallar un segmento de igual longitud que la de la curva.
En el caso de la circunferencia, como otros muchos, solo puede
llegarse a este resultado aproximadamente, sea por métodos
gráficos o por el cálculo. Esto quiere decir que la
cuadratura rigurosa del círculo es imposible.
Primer método; Sea una circunferencia de centro
O. (fig. 113). Tracémosle, por uno de sus puntos, A, una
tangente AB, y a la vez el diámetro de contacto AOC. Con
una abertura de compás igual al radio, y centro en A.
marquemos el punto D y dividamos el arco AD, así obtenido,
en dos partes iguales por medio de los arcos M. Se tiene
así el punto E determinado por OM sobre la tangente. A
partir de este punto E se lleva ahora, sobre la tangente, tres
veces el radio, con lo cual obtenemos el punto B. Uniendo B con C
resulta el segmento BC que representa aproximadamente la mitad de
la circunferencia.
Otro método: Se traza un diámetro AB (fig.
114) y con centro en A y en B, y una abertura de compás
igual al radio, se trazan los arcos OC y OD. Con centro en A, y
una abertura igual a AD, se traza el arco DE, y con centro en B e
igual abertura, se traza el arco CE. Finalmente, con centro en C,
y abertura CE, se traza el arco EF. El segmento AF es
aproximadamente igual a la cuarta parte de la
circunferencia.
Calcular la longitud de la circunferencia. Para calcular
la longitud de la circunferencia, dado el radio, basta saber que
la relación de la circunferencia al diámetro, o lo
que lo mismo, el cociente de dividir la longitud de la
circunferencia por la longitud del diámetro, es un
número conocido que se representa por la letra griega
que se llama pi. El
valor de se puede
obtener con todas las cifras decimales que se quiera, pero no
exactamente. Nosotros lo usaremos con el valor 3.14.
La longitud de la circunferencia es igual al producto de
2 por el número y por el radio de la circunferencia.
Esto equivale a escribir la fórmula
L = 2r, donde L es la longitud de la
circunferencia y r su radio.
Ejemplo 1: Calcular la longitud de una circunferencia de
20 m de radio.
Se tiene L = 2r = 2 . 3,14 . 20 = 125,664 m
Ejemplo 2: Calcular la longitud de una circunferencia
cuyo radio es de 14,5 cm
L = 2 . 3,14 . 14,5 = 91, 1064 cm
Anexos
Antes de empezar es necesario definir qué es un
lugar geométrico:
Un lugar geométrico, es un conjunto de entes
geométricos cualesquiera (puntos, rectas, segmentos,
etc.), que posean determinada propiedad, de manera que
están satisfechos los requisitos siguientes:
Todos los entes del conjunto sin excepción
poseen la propiedadNo existen otros entes fuera del conjunto que posean
la propiedad.
Veamos un ejemplo de cómo resolver un problema
donde vamos a construir un lugar geométrico, puesto que no
lo tratamos en capítulos anteriores. Además nos va
a servir para que observes como poner en práctica los
pasos que indicamos en la introducción para resolver
problemas de construcción. Recuerda que no te damos las
soluciones, que estos problemas son relativamente fáciles,
solo está en el empeño que pongas y como sepas
utilizar la regla y el compás.
Ejercicio resuelto:
1. Construya el lugar geométrico de
todos los puntos tales, que los pares de tangentes que desde
ellos pueden trazarse a una circunferencia dada, formen entre
sí ángulos cuya amplitud sea
constante.
Análisis: Figura de análisis (fig.
115)
Se supone el problema resuelto. Según la figura
de análisis tenemos que:
Ejercicios propuestos:
1. Construya el lugar geométrico de
todos los puntos que están a una distancia dada, de
una recta dada.2. Construya el lugar geométrico de
todos los puntos que equidistan de dos rectas
paralelas.3. Construya el lugar geométrico de
todos los puntos que están a una distancia dada, de
una circunferencia dada.4. Construya el lugar geométrico de
todos los puntos que están a una distancia dada de un
punto dado.5. Construya un segmento de longitud dada, en
una semirrecta, a partir del origen de dicha
semirrecta.6. Construya un ángulo de amplitud dada,
en una bandera dada.7. Construir la mediatriz de un
segmento.8. Construir las mediatrices a los tres lados
de un triángulo.9. Construye un triángulo ABC
dados:a) La longitud de un lado y las amplitudes de
los ángulos adyacentes correspondientes al
lado.b) Las longitudes de dos lados y la amplitud
del ángulo opuesto al mayor de los lados
dados.c) Construye un paralelogramo, dadas las
longitudes de los dos lados no paralelos y la amplitud del
ángulo entre estos dos lados.10. Construya un
cuadrilátero, dadas las longitudes de sus cuatro lados
y la amplitud del ángulo comprendido entre dos lados
consecutivos.11. Construye un triángulo
dado un lado, y dos ángulos, el opuesto a ese lado y
uno de los adyacentes al mismo.12. Construye un triángulo
rectángulo dado sus dos catetos.13. Construye un triángulo
rectángulo dados sus dos catetos.14. Construya el lugar
geométrico de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo.15. Construya el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de
dos puntos fijos.16. Construya el lugar
geométrico de todos los puntos del plano que lados del
ángulo.17. Construya el lugar
geométrico de todos los puntos que equidistan una
distancia fija r a una recta fija l.18. Construya el lugar
geométrico de todos los puntos que equidistan de dos
puntos fijos A y B19. Construya el lugar
geométrico de todos los puntos que equidistan de dos
rectas fijas l y m que se intersecan en O.20. Construya el lugar
geométrico de los centros de todas las circunferencias
tangentes a una recta dada en un punto de ella21. Construya el lugar
geométrico de los centros de todas las circunferencias
tangentes a dos rectas dadas.22. Construya el lugar
geométrico de los centros de todas las circunferencias
de radio dado, tangentes a una circunferencia
dada.23. Dados dos puntos, trace por
estos dos rectas paralelas que están a una distancia
dada m.24. Dados tres puntos A, B y C,
trace por C una recta igualmente distante de los otros
dos.25. Trace una recta que sea
paralela a otra dada y que pase a igual distancia de dos
puntos dados.26. Por un punto dado trace una
recta que forma ángulos iguales con dos rectas
dadas.27. Dados un ángulo y un
punto exterior, construya un ángulo igual al dado y
que tenga por vértice al punto dado.28. Construya el triángulo
ABC, dados:a) Dos lados y la mediana a uno de
sus ladosb) Un lado, la altura relativa al
lado y un ánguloc) La suma de las longitudes de
los tres lados, y un ángulo29. Construya una circunferencia
que pase por un punto dado y que sea tangente a una
circunferencia dada en un punto de esta.30. Construya una circunferencia
tangente a otra y a una recta, conocido el punto de tangencia
con esta.31. (Concurso Nacional, Cuba
2006 – 2007) Dos medianas de un triángulo son
perpendiculares. Prueba que con las longitudes de las
medianas del triángulo se puede construir un
triángulo rectángulo.
Triángulos:
En todo triángulo cada lado es menor que la
suma de los otros des y mayor que su diferencia.La suma de los ángulos de un triángulo
cualquiera es igual a 180º.En todo triángulo cada ángulo es
suplemento de la suma de los otros dos.Si dos triángulos tienen dos ángulos
respectivamente iguales, los terceros ángulos
también son iguales.Un triángulo no puede tener más de un
ángulo recto, ni más de uno obtuso, ni uno
recto y otro obtuso.En un triángulo rectángulo los
ángulos agudos son complementarios.Un ángulo exterior de un triángulo es
igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a
él.Todo ángulo exterior de un triángulo
es mayor que cualquiera de los interiores no adyacentes a
él.Si un triángulo tiene dos lados iguales, los
ángulos opuestos a estos lados son también
iguales.Los ángulos bases (o sea, los adyacentes a la
base) de un triángulo isósceles son
iguales.Los tres ángulos de un triángulo
equilátero son iguales, o sea, todo triángulo
equilátero es equiángulo.Si en un triángulo dos lados son desiguales,
a mayor lado se opone mayor ángulo.En todo triángulo a ángulos iguales se
oponen lados iguales y a mayor ángulo se opone mayor
lado.Dos triángulos son iguales cuando tienen dos
lados y el ángulo comprendido respectivamente
iguales.Dos triángulos son iguales cuando tienen un
lado igual y respectivamente iguales los ángulos
adyacentes a ese lado (es decir, los formados por
él).Dos triángulos son iguales cuando tienen un
lado igual y respectivamente iguales dos ángulos que
guarden la misma posición con respecto a ese
lado.Dos triángulos son iguales cuando tienen sus
tres lados respectivamente iguales.Dos triángulos rectángulos son iguales
cuando tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un
ángulo agudo.Dos triángulos rectángulos son iguales
cuando tienen respectivamente iguales un cateto y un
ángulo de la misma posición (con respecto a ese
cateto).Dos triángulos rectángulos son iguales
cuando tienen respectivamente iguales los dos
catetos.Dos triángulos rectángulos son iguales
cuando tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un
cateto.La suma de dos segmentos que se cortan es mayor que
la suma de los segmentos que unen sus extremos.Si dos triángulos tienen dos lados
respectivamente iguales y desiguales el ángulo
comprendido, los terceros lados son desiguales,
oponiéndose al mayor ángulo el mayor
lado.Todo punto situado en la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos del segmento, y todo punto fuera de
esa mediatriz no equidista.Todo punto situado en la bisectriz de un
ángulo equidista de los lados del ángulo, y
todo punto fuera de esa bisectriz, no equidista.
Polígonos:
En todo polígono la suma de sus
ángulos interiores es igual a tantas veces 180º
como lados tiene menos dos.Si se prolongan en un mismo sentido todos los lados
de un polígono, la suma de los ángulos
exteriores que resultan es igual a 360º.El número total de diagonales de un
polígono de n lados es
.
Dos polígonos de igual número de lados
son iguales se descomponen en el mismo número de
triángulos respectivamente iguales e igualmente
dispuestos.
Cuadriláteros:
La suma de los ángulos interiores es igual a
360º.Tienen dos diagonales en total; y desde un
vértice solo se puede trazar una diagonal.Las diagonales se cortan en un punto interior al
cuadrilátero.En todo paralelogramo los lados opuestos son
iguales.Si un paralelogramo tiene dos lados consecutivos
iguales, tiene cuatro lados iguales.Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos son
suplementarios.Si en un paralelogramo un ángulo es recto,
los demás son rectos.Las diagonales se cortan recíprocamente en su
punto medio.Si un cuadrilátero tiene sus lados iguales,
es cuadrilátero es un paralelogramo.Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos
iguales y paralelos, ese cuadrilátero es un
paralelogramo.Si un cuadrilátero tiene iguales los
ángulos opuestos, dicho cuadrilátero es un
paralelogramo.Si en un cuadrilátero son suplementarios los
ángulos consecutivos, ese cuadrilátero es un
paralelogramo.Si las diagonales de un cuadrilátero se
cortan por su mitad, éste es un
paralelogramo.Las diagonales del rectángulo son
iguales.Las diagonales del cuadrado son iguales.
Si las diagonales de un paralelogramo son iguales,
ese paralelogramo es un rectángulo.Las diagonales del rombo se cortan
perpendicularmente y cada una es bisectriz de los
ángulos cuyos vértices une.Las diagonales del cuadrado se cortan
perpendicularmente y cada una es bisectriz de los
ángulos cuyos vértices une.Si las diagonales de un paralelogramo se cortan
perpendicularmente, ese paralelogramo es un rombo.Si una de las diagonales de un paralelogramo es
bisectriz de uno de los ángulos, dicho paralelogramo
es un rombo.La paralela media de un trapecio es paralela a las
bases, e igual a su semisuma.Dos cuadriláteros son iguales cuando se
descomponen en triángulos respectivamente iguales e
igualmente dispuestos.Dos cuadriláteros son iguales si tienen
respectivamente iguales tres lados y los dos ángulos
que forman.Dos cuadriláteros son iguales cuando tienen
respectivamente iguales dos lados consecutivos y los tres
ángulos de que forman parte.Dos paralelogramos son iguales cuando tienen dos
lados consecutivos y el ángulo comprendido
respectivamente iguales.Dos rectángulos son iguales cuando tienen dos
lados consecutivos respectivamente iguales.Dos rombos son iguales cuando tienen un lado y un
ángulo respectivamente iguales.Dos cuadrados son iguales cuando tienen dos lados
consecutivos y una diagonal respectivamente
igualesDos paralelogramos son iguales cuando tienen una
diagonal igual y respectivamente iguales los ángulos
que esa diagonal forma con dos lados consecutivos.
Circunferencia:
Si en circunferencias de igual radio se tienen
ángulos centrales iguales, los arcos que éstos
interceptan son iguales.Si en circunferencias de igual radio se tienen
ángulos centrales que interceptan arcos iguales. Esos
ángulos son iguales.Si en circunferencias de igual radio se tienen
ángulos centrales desiguales, los arcos que
éstos interceptan también son desiguales,
correspondiendo al mayor ángulo el mayor
arco.Si en circunferencias de igual radio se tienen
ángulos centrales que interceptan arcos desiguales,
esos, ángulos también son desiguales,
correspondiendo a mayor arco el mayor
ángulo.A ángulos centrales iguales corresponden
arcos iguales.A arcos iguales corresponden ángulos
centrales iguales.A mayor ángulo central corresponde mayor
arco, o sea, a menor ángulo central, menor
arco.A mayor arco corresponde mayor ángulo
central, o sea, a menor arco, menor ángulo
central.El diámetro es la mayor de las
cuerdas.Todo diámetro divide a la circunferencia y al
círculo en dos partes iguales llamados
semicircunferencia y semicírculo
respectivamente.Todo diámetro perpendicular a una cuerda
divide a ésta y a los arcos que subtiende en dos
partes iguales.A arcos iguales corresponde cuerdas
iguales.Si dos arcos menores que una semicircunferencia son
desiguales, al mayor arco corresponde mayor
cuerda.En una circunferencia o en circunferencias iguales,
las cuerdas iguales equidistan del centro; y si dos cuerdas
son desiguales, la mayor dista menos.Si dos cuerdas equidistan del centro son iguales, y
si dos cuerdas no equidistan del centro, la que dista menos
es la mayor.La menor curda que se puede trazar por un punto
interior a una circunferencia es la perpendicular al
diámetro correspondiente a ese punto.Los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son
iguales.La perpendicular trazada en el extremo de un radio
es tangente a la circunferencia en ese punto.Toda tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio correspondiente al punto de tangencia.Si se traza la perpendicular a una tangente en el
punto de tangencia, es perpendicular pasa por el centro de la
circunferencia.Si se traza la perpendicular a una tangente desde el
centro de la circunferencia, esa perpendicular pasa por el
punto de tangencia.La menor distancia de un punto a una circunferencia
es el segmento normal correspondiente a ese punto.Por tres puntos no situados en línea recta
puede hacerse pasar siempre una circunferencia y solo una, o
sea, tres puntos no alineados determinan siempre una
circunferencia.Dos ángulos son proporcionales a sus arcos
correspondientes trazados con el mismo radio.La medida de todo ángulo inscrito es igual a
la mitad de la medida del arco comprendido entre sus
lados.Todos los ángulos inscritos en un mismo arco
son iguales.Todos los ángulos inscritos en una
semicircunferencia, es decir, que sus lados pasan por los
extremos de un diámetro, miden 90º.La medida de todo ángulo semiinscrito es
igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus
lados.La medida de todo ángulo interior es igual a
la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y entre
las prolongaciones de éstos.La medida de todo ángulo exterior es igual a
la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus
lados.La medida del ángulo que tiene su
vértice en la circunferencia y está formado por
una cuerda y la prolongación de otra, es igual a la
semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y entre
las prolongaciones de éstos.
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_________________________________: Guía para la
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Autor:
Wilmer Valle
Castañeda
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